人教A版高中数学必修一正弦函数、余弦函数的性质教学设计（2）

正弦函数、余弦函数的性质教学设计（2）

本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.

课程目标

1.了解周期函数与最小正周期的意义;

2.了解三角函数的周期性和奇偶性;

3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;

4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);

5.能利用性质解决一些简单问题.

数学学科素养

1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；

2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.

4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.

重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；

难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本201-205页，思考并完成以下问题

1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义？

2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？

3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).

2.值域

(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.

(2)最值

正弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

余弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

3.周期性

定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,

都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.

由此可知,都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

()为奇函数,其图象关于原点对称

()为偶函数,其图象关于轴对称

5.对称性

正弦函数的对称中心是,

对称轴是直线;

余弦函数的对称中心是,

对称轴是直线

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).

6.单调性

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

四、典例分析、举一反三

题型一 正、余弦函数的周期性

例1 求下列三角函数的最小正周期:

(1)y=3cos x,x∈R; (2)y=sin 2x,x∈R;

(3)y=2sin(),x∈R; (4)y=|cos x|,x∈R.

【答案】(1) 2π；(2)π；(3) 4π；(4)π.

【解析】:(1)因为3cos(x+2π)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2π.

(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.

(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.

(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为π.

解题技巧：（求函数最小正周期的常用方法）

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.

(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．

跟踪训练一

1.（1）函数y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是( )

(A) (B) (C) (D)π

(2)函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为 .

【答案】(1)B；(2) ．

【解析】 (2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).

由图象可知,函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为.

题型二 化简、求值

例2判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);

(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.

【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)偶函数;(4)既是奇函数又是偶函数.

【解析】(1)显然x∈R,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.

(2)因为x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,

所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),

所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.

(3)显然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),

所以函数f(x)=sin |x|是偶函数.

(4)由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.

解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)

判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;

(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.

跟踪训练二

1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )

(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)

(C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)

【答案】B

【解析】 A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T==π,故选B.

2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于 ( )

A．－ B．1 C．－ D．

【答案】D

【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，

所以f ＝f ＝f ，

又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以f ＝f ＝f ＝sin＝.

题型三 正、余弦函数的单调性

例3求函数y=sin(x+)的单调区间.

【答案】略.

【解析】当-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-+,+](k∈Z).当+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[+,+](k∈Z).

解题技巧：（求单调区间的步骤）

(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或

y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：

第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；

第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解关于x的不等式．

(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．

跟踪训练三

1．求函数y＝2sin的单调增区间．

【答案】略.

【解析】y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求y＝sin z的减区间，所以＋2kπ≤z≤＋2kπ(k∈Z)，

即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，

所以y＝2sin的单调增区间是(k∈Z)．

题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用

例4 比较下列各组中函数值的大小：

（1）cos与cos；

(2)sin 194与cos 160.

【答案】（1）cos＜cos；（2）sin 194＞cos 160.

【解析】（1）cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos，

∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，

∴cos＜cos，即cos＜cos.

(2)sin 194＝sin(180＋14)＝－sin 14，

cos 160＝cos(180－20)＝－cos 20＝－sin70.

∵0＜14＜70＜90，且函数y＝sin x在0＜x＜90时单调递增，∴sin 14＜sin 70.

从而－sin 14＞－sin 70，即sin 194＞cos160.

解题方法（比较两个三角函数值的大小）

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．

(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．

跟踪训练四

1．下列结论正确的是 ( )

A．sin400>sin 50 B．sin 220

C．cos130>cos 200 D．cos(－40)

【答案】C.

【解析】由cos 130＝cos(180－50)＝－cos50，cos 200＝cos(180＋20)＝－cos 20，因为当0－cos20，即cos 130>cos 200.

题型五 正、余弦函数的值域与最值问题

例5 求下列函数的值域:

(1)y=cos(x+),x∈[0,];

(2)y=cos2x-4cosx+5.

【答案】（1）[-,] ；（2）[2,10].

【解析】(1)由x∈[0,]可得

x+∈[,],

函数y=cos x在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[-,].

(2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,

则-1≤t≤1.

y=t2-4t+5=(,

当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;

t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].

解题方法（三角函数的值域问题解题思路）