人教版高中数学选修3分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)教学设计

课程目标

学科素养

A.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

B．能应用两个计数原理解决实际问题.

1.数学抽象：两个计数原理

2.逻辑推理：运用分类思想解决复杂问题

3.数学运算：运用计数原理解决计数问题

4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

2.区别

二、典例解析

例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，

问共有多少种不同的挂法？

分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成.

解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，

可以分两个步骤完成:

第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法，

第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，

根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是

N=32=6.

例5．给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母或，后两个要求用数字.问最多可以给多少个程序命名？

分析：要完成一件事是“给一个程序模块命名” ，可以分三个步骤完成：第1步，首选字符，第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，还有首字符又可以分为两类。

解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为，后两个字符从中选，因为数字可以重复，

所以不同选法的种数都为9.

由分步乘法计数原理，不同名称的个数是，

即最多可以给1053个程序命名.

例6. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：

（1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？

（2）计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字” .由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都是0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理来求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.

解：（1）一个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示

22222222==256个不同的字符；

（2）由（1）知，用一个字节能表示256个字符，

∵256<6763，一个字节不够；根据分步乘法计数原理，

2个字节可以表示256256=65536个不同的字符，

∵65536>6763，所以每个汉字至少要用2个字节表示.

例7.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行调试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多字模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？

另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可有子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可以由子模块4、子模块5中任何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个技术原理.

解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2,、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91；

子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.

又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为9181=7371.

在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，它可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为

18+45+18+38+43=172.

再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为32=6.
如果每个子模块都正常功能，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作，正常这样测试整个模块的次数就变为172+6=178，显然178与7371的差距是非常大的.

1.使用两个原理的原则

使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.

2.应用两个计数原理计数的四个步骤

(1)明确完成的这件事是什么.

(2)思考如何完成这件事.

(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.

(4)选择计数原理进行计算.
例8.通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示发牌机关代号，第二部分有阿拉伯数字和英文字母组成的序号如图，

其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除 O,I之外的24个英文字母组成;
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？

典例解析

分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按程序编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类；没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号，分为五个子类，将有2个字母的序号，分为十个子类.

解：有号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数，根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.

（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分布乘法计数原理，这类号牌张数为1010101010=100000.

（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为：2410101010=240000.
同样，其余四个子类号牌也各有240000张。

根据分类加法计数原理，这类号牌张数，共为

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位，第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为2424101010=576000
同样其余九个子类号牌也各有576000张
于是这类号牌张数一共为57600010=5760000

综合（1）（2）（3）根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为

10000十1200000+5760000=7060000.

解决抽取(分配)问题的方法

(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.

(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.

归纳总结

跟踪训练. 7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学生会下围棋但不会下象棋,另2名学生既会下象棋又会下围棋.现从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛,共有多少种不同的选法?

跟踪训练

解:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N₁=32=6(种).

第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N₂=32=6(种).

第3类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N₃=22=4(种).

第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,有N₄=2种.

综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有N=N₁+N₂+N₃+N₄=6+6+4+2=18(种).

通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。

通过具体问题，分析、比较、归纳、加深对两个计数原理的认识。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉两个计数原理的基本步骤，并能区分它们的联系和区别，进而灵活运用两个计数原理。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为( )

A.11 B.28 C.16 384 D.2 401

解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有47=28(种)不同的配法.

答案:B

2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为( )

A.30 B.20 C.10 D.6

解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种取法;②取出的两数都是奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6(种)取法.

答案:D

3.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( )

A.50种 B.60种 C.80种 D.90种

解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。