北师大初中七年级数学下册完全平方公式教案

完全平方公式教案

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；(重点)

2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)

一、情境导入

计算：

(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；

(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.

由上述计算，你发现了什么结论？

二、合作探究

探究点：完全平方公式

【类型一】直接运用完全平方公式进行计算

利用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2；

(2)(－3m－4n)2；

(3)(－3a＋b)2.

解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．

解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；

(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.

方法总结：完全平方公式：(ab)2＝a22ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

【类型二】利用完全平方公式求字母的值

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．

解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝26x5y，∴m＋1＝60，∴m＝59或－61.

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

【类型三】灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值

若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.

(1)求＋的值；

(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．

解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．

解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，∴4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴＋＝＝＝＝；

(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－22＋1＝10.

方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．

【类型四】完全平方公式的几何背景

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是()

A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2

C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

【类型五】与完全平方公式有关的探究问题

下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．

(a＋b)1＝a＋b，

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.