北师大初中九年级数学下册利用二次函数求方程的近似根1教案

利用二次函数求方程的近似根教案

1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)

2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点

一、情境导入

你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋ 2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?

由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋ 2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？

二、合作探究

探究点：利用二次函数求方程的近似根

【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根

利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．

解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．

解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．

作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．

方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．

【类型二】列表求一元二次方程的近似根

下面表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是()

A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18

C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20

解析：由表格中的数据得，在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，故选C.

方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题

【类型三】利用图象求一元二次方程的近似根

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()

A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5

C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1

解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.

方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型四】利用二次函数和一次函数的图象求方程的根

已知二次函数y＝2x2－2和函数y＝5x＋1.

(1)你能用图象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解吗？

(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解．

解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解．

解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y＝2x2－2和函数y＝5x＋1的图象，如图所示：

图象交点的横坐标是－，3，故2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－，x2＝3；

(2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x2－2＝5x＋1的解，化简得2x2－5x－3＝0，因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.解得x1＝－，x2＝3，可知(1)中求得的解正确．

方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型五】二次函数与其他函数的综合

利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；

(2)已知函数y＝－的图象(如图所示)，利用图象求方程－x＋3＝0的近似根(结果保留两个有效数字)．

解析：(1)一元二次方程x2＋x－3＝0可以转化为x2－3＝－x，所以一元二次方程x2＋x－3＝0的解可以看成抛物线y＝x2－3与直线y＝－x交点的横坐标；(2)函数y＝－的图象与直线y＝－x＋3的交点的横坐标就是方程－x＋3＝0的近似根．